ریاضی در زندگی

حتماً با «مثلث خیام – پاسکال» آشنا هستید:  حال آیا در مورد «فراکتال»‌ها (معادل فارسی آن «برخال» است)‌ چیزی شنیده‌اید. در این مورد در کتاب‌های درسی ریاضی‌اتان مطالبی گفته شده است. حتماً با «مثلث خیام – پاسکال» آشنا هستید:  حال آیا در مورد «فراکتال»‌ها (معادل فارسی آن «برخال» است)‌ چیزی شنیده‌اید. در این مورد در کتاب‌های درسی ریاضی‌اتان مطالبی گفته شده است. در واقع «برخال»‌ها موجوداتی هندسی‌اند که هرچه آن را از نزدیک نگاه کنیم شبیه شکل نخستین است مانند: «گل کلم». به این اشیا‌ اصطلاحاً «خودمتشابه» گویند.    ایده‌ی «خود متشابه» در اصل توسط «لایبنیتس» بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ «کارل وایرشتراس» مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگی‌های غیربصری که در همه‌جا پیوسته بود ولی در هرجا مشتق‌پذیر نبود. گراف ‌این تابع اکنون «برخال» نامیده می‌شود. در سال ۱۹۰۴ «هلگه فون کخ» به‌همراه خلاصه‌ای از «تعریف تحلیلی وایرشتراس»، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به «برفدانه کخ» معروف است. در سال ۱۹۱۵ «واکلو سرپینسکی» مثلث‌اش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ‌ایده‌ی «منحنی‌های خودمتشابه» توسط «پاول پیر لوی» مطرح شد او در مقاله‌اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنی‌های فضایی» و «سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد.منحنی «لوی سی. گئورگ کانتور»مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگی‌های معمول ارائه داد‌. این «مجموعه‌های کانتور» اکنون به‌عنوان«برخال» شناخته می‌شوند.اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم «توابع تکرار شونده در سطح پیچیده» توسط «هانری پوانکاره»،«فلیکس کلاین»، «پیر فاتو» و «گاستون جولیا» شناخته شده بودند. با ‌این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آن‌ها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال 1960 «بنوا مندلبرو» تحقیقاتی را در شناخت خودمتشابه‌ای طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. ‌این کارها براساس کارهای پیشین «ریچاردسون» استوار بود. در سال ۱۹۷۵ «مندلبروت» جهت مشخص کردن شیئی که بعد «هاوسدورف بیسکویچ» آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک است کلمه‌ی «برخال» را ‌ایجاد کرد. او‌ این تعریف ریاضی را از طریق شبیه‌سازی خاص کامپیوتری تشریح کرد.  nمثلث خیام - پاسکالحال با این توضیح مختصر در مورد برخال‌ها برمی‌گردیم به «مثلث خیام – پاسکال».در مورد این مثلث زیاد شنیده‌ایم از جمله در مورد کاربرد فراوانش در نظریه‌ی اعداد و ترکیبیات. حال می‌خواهم یک «برخال» ساده را در این مثلث به شما نشان دهم. موضوعی که باعث می‌شود این مثلث جایی را نیز در دنیای برخال‌ها – یعنی سیستم‌های دینامیکی – پیدا کند.مسأله خیلی ساده است، تمام اعداد زوج را در «مثلث خیام – پاسکال» پاک کنید، آن‌چه باقی می‌ماند برخالی معروف است با نام «مثلث سرپینسکی»: