تابع زتاریمان از تبدیل ملین

تبدیل ملین از یک تابع fe (x) به صورت زیر تعریف می‌شود.در ناحیه‌ای که انتگرال تعریف می‌شود، تعبیرهای متفاوتی برای تابع زتا در تبدیل ملین وجود دارد. اگر قسمت حقیقی S بزرگ‌تر از 1 باشد داریم: تبدیل ملین از یک تابع fe (x) به صورت زیر تعریف می‌شود.در ناحیه‌ای که انتگرال تعریف می‌شود، تعبیرهای متفاوتی برای تابع زتا در تبدیل ملین وجود دارد. اگر قسمت حقیقی S بزرگ‌تر از 1 باشد داریم:با حذف جمله اول بسط سری توانی از 1/(exp(x)& حول صفر، ما می‌توانیم در دیگر نواحی نیز تابع زتا را بدست آوریم با جزئیات در نوار بحرانی خواهیم داشت:و وقتی قسمت حقیقی بین 0 , -1 باشد داریم:و ما می‌توانیم همچنین پیدا کنیم جملاتی را که با اعداد اول رابطه دارند. اگر π(x) یک تابع محاسبه اعداد اول باشد پسبرای مقادیری با 1" src="https://upload.wikimedia.org/math/4/f/f/4ff3fc2979aefd981f465a589180371b.png">. می‌توانیم رابطه‌ای بالا را با تبدیل ملین از π(x) by پیدا کنیم.کهیک مشابه تبدیل ملین مستلزم اینست که تابع J(x) محاسبه‌ای اعداد اول ریمان که اعداد ( pn ) اول توانی را محاسبه می‌کند با وزن 1/nپس . حال داریم:فرمول این تعبیر می‌تواند برا حل تئوری اعداد اول استفاده شود. به‌وسیلهٔ معکوس تبدیل ملین کارکردن با تابع محاسبه اعداد اول ریمان آسانتر است و می‌تواند با استفاده از آن به‌وسیله معکوس مربیوس بهبود یابد.