هم ارزی در حد

هم ارزی در حددو تابع f  و g  را در نقطه ای مانند را هم ارز می گوییم هر گاه دو شرط زیر بر قرار باشد : هم ارزی در حددو تابع f  و g  را در نقطه ای مانند را هم ارز می گوییم هر گاه دو شرط زیر بر قرار باشد :در این صورت می گوییم دو تابع f , g  در نقطه هم ارز هستند ، و با نماد    f~g نمایش می دهیم. فایده این توابع هم ارز در این است که هنگامیکهاز توابع پیچیده حد می گیریم.می توانیم برای ساده تر شدن حل مساله بجای توابع پیچیده از هم ارزیهای آنها استفاده کنیم، تا محاسبه حد ساده تر شود.در واقع هنگامیکه حد دو تابع در میل کردن به چیزی (عددی) با هم برابر باشند ، پس میشه آنها را به جای هم قرار داد .مثلا           وقتی  به سمت صفر میل کند برابر صفر خواهد بود : همچنین   حالا می دانیم که :پس می توان بجای وقتی به سمت صفر میل کند ، متغیر را قرار دهیم .اما سوال اساسی اینکه این هم ارزیها اصولا از کجا حاصل می شوند، و چگونه این فرمولها بدست می آیند.برای فهم منشا پیدایش و منبع فرمولهای هم ارزی باید برگردیم به بررسی بسط (سری ) تیلور و بسط (سری )ماک لورن .دستور تیلور اگر تابع در بازه پیوسته باشد و مشتقات تا مرتبه در این فاصله  پیوسته  باشد ، و مشتق مرتبه ام نیز در بازه وجود داشته باشد ، آنگاه به ازای هر تابع را می توان بصورت دستور زیر نوشت :که در اینجااین فرمول بالا را دستور تیلور تابع  گویند . حالا اگر در این دستور قرار دهیم دستور ماک لورن بدست می آید که بصورت زیر است :اکنون با استفاده از همان بسط ماک لورن می توانیم تابع  را بصورت سری زیر بنویسیم :در واقع با استفاده از همان سری و بسط ماکلورن بالا ، ما می توانیم هر کدام از هم ارزیهای زیر را بر حسب ضرورت برای تابع سینوس بکار ببریم :خوب آنچه تا کنون گفتیم شرحی از مفهوم  هم ارزیها بود و فهمیدیم که هم ارزیها بر اساس کدام قانون و قاعده ریاضی بدست می آیند . اکنون دو دسته از پرکاربردی ترین فرمولهای هم ارزی را اینجا برای شما ارائه می کنیم :۱-هم ارزیهای جبری :الف )وقتی متغیر ب)وقتی ۲-هم ارزیهای مثلثاتی :الف) تک جمله ای (مرحله اول )این هم ارزیهای برای زمانی که   استفاده می شوند که حاصل آن یک جمله است .هم ارزی درجه اول (یک جمله ای-مرحله اول)تابع ب)-هم ارزی مرتبه دوم (دو جمله ای-مرحله دوم )این هم ارزیهای برای زمانی کهاستفاده می شوند که حاصل آن دو جمله است .اگر پس از استفاده از هم ارزی مرحله اول عبارات با هم ساده شوند (یعنی صفر شوند) جواب بدست آمده نادرست است ، پس باید از هم ارزی مرحله دوم استفاده کنیم، بنابر این در جاهایی که می خواهیم هم ارز عباراتی را بنویسیم که جمع و تفریق می شوند ، باید از این هم ارزی ها استفاده کنیم: هم ارزی درجه دوم (مرحله دوم)تابع حالت کلی این هم ارزیهای وقتی توابع به توان عددی مانند برسند بصورت زیر است .تا اینجای کار به هم ارزیها و فرمولهای پر کاربرد مثلثاتی پرداختیم اکنون سعی می کنیم برای فهم بهتر مطلب چند مثالی را با هم مرور می کنیم.برای آشنایی بیشتر تمرینات بخش را نیز ببینید.